1、オーディオの趣味

5)オーディオ実験室
c)、パラメトリックEQの実験
〇参考文献:LCR直列共振回路について
 左図<FIG c2a2x>にLCR直列共振回路を示します。
 この時インピーダンスZは
 Z=Re+SL+1/SC --------------①
 今、S=jω と置きますと、①式は
 Z=Re+j(ω・L-1/(ω・C))  -------------------------②
 よって、
 Z^2=Re^2+(ω・L-1/(ω・C))^2  --------------------③
 |Z|=√{Re^2+(ω・L-1/(ω・C))^2}  -----------------④
 Φ=tan-1{((ω・L-1/(ω・C))/Re}  ------------------⑤
 ここで、②式の虚数部を=0と置きますと
 ω
・L-1/(ω・C)=0 <=> ω=√{1/(L・C)}  ------------⑥
 ここで②式を変形しますと
 Z=Re{1+j(ω0・L/Re)・(ω/ω0-ω0/ω)}  --------------⑦
 次に、Q=ω0・L/Cと置きますと
 Q=1/Re・(√(L/C)  ------------------------------⑧
となります。今、
 |Z|/Re=√{1+Q・(ω/ω0-ω0/ω)^2}≧1   --------------⑨
と出来ますので、|Z|の最小値はReとなります。

〇Qとバンド幅について
 中心周波数ωとして、インピーダンスが3dB(√2)上がる周波数を
ωα、ωβ(但し、ωα<ωβ)とします。
 ⑨式にωα、ωβを代入して整理しますと、
 Q・(ωα/ω-ω/ωα)=-1      -----------⑩
 Q・(ωβ/ω-ω/ωβ)=1        -----------⑪
 (ωα/ω-ω/ωα)=-1/Q    ------------⑫
 (ωβ/ω-ω/ωβ)=1/Q       -----------⑬
 ⑫、⑬式を辺々加えて整理しますと、
 (ωα+ωβ)/ω0ω0・ωα+ωβ)/(ωα・ωβ)=0 -⑭
 故に
 ω0^2=ωα・ωβ   ------------------------------------⑮
 ⑫、⑬式を辺々引いて整理しますと、
 (ωβ-ωα)/ω0ω0・(ωβ-ωα)/(ωα・ωβ)=2/Q  -----------------⑯
 之に⑮式を代入整理して、
 ω0/(ωβ-ωα)=Q   -----------------------------------⑰
 を得ます。ここでω0は中心周波数、(ωβ-ωα)は3dBバンド幅(周波数)を表します。
 以上を図示しますと上図の<FIG c2a2x1>の様になります。
 ω
α、ω0ωβの関係は相加平均になります。

 次に、3dBバンド幅(以下、バンド幅と略。)をΔω(Yoct.)と置きますと、
 Δω=ωβ-ωα=2^Y  -------------------------------(a)
 ω
β2^Y・ωα  --------------------------------------(b)               
 ω0=√(ωαωβ)=2^(Y /2)・ωα   --------------------------(c)
 Δω=ωβ-ωα=2^Y・ωα-ωα=(2^Y-1)・ωα   ------------------------(d)
 以上より。
 Q=ω0/(ωβ-ωα)=2^(Y/2)/(2^Y-1)   -----------------------(e)
 となります。逆にQの値からバンド幅を知るためには上の式を変形して、
 (2^Y-1)・Q=2^(y/2)   --------------------------------(f)
 ここで、2^(Y/2)=T(>0)と置いて(f)式を書き直すと、
 Q・T^2-T-Q=0
 故に、
 T=(1+√(4・Q^2+1))/(2・Q)=2^(Y/2)   -----------------------(g)
 (g)の変々対数を取って、
 (Y/2)・log2=log{1+√(4・Q^2+1))/(2・Q)}   ---------------------(h)
 故に、
 Y=(2/log2)・log{1+√(4・Q^2+1))/(2・Q)}
  =6.644・log{1+√(4・Q^2+1))/(2・Q)}  -----------------------(i)
 以上でQとバンド幅の関係が判りました。
 代表的なQとバンド幅の例を次の表に示します。

    
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